秋の夜長

寒すぎる。
やっと秋になったと思ったのに、朝晩の冷え込みが初冬のそれで驚きます。
年々、秋の期間が短くなっている気がするのは私だけでしょうか……？

学習塾マリガン津田沼校の宮本です。

芸術の秋、運動の秋、食欲の秋、様々なものがありますが、
ここでは「勉強の秋」ということで、秋の夜長にぴったりな数学の問題を1題！

「モンティホール問題」という有名な数学の問題をご存じでしょうか？
分かる人にはすぐわかるけれど、分からない人は解説を聞いてもわかりにくい、そんな問題です。

モンティホール問題

◆前提

3つの扉がある。
１つはあたりの扉、残り2つははずれの扉。

◆手順

1　挑戦者は3つの扉の中からあたりだと思う扉を1つ選ぶ
2　答えを知っている司会者のモンティが残った2つの扉の中ではずれの扉を１つ選んで開ける

◆問題

挑戦者は残り2つの扉の中から好きな方を選べる。
この時、挑戦者は扉を変えるべきか？変えないべきか？

という問題です。

皆さんも少し考えてみてください。どうでしょうか？
あなたなら最初に選んだ扉から別の扉に変えますか？

この問題は、「扉は変えるべき」というのが正解です。

理由は、扉を変更しない場合は最初に選んだ時のままあたりの確率が1/3ですが、
扉を変更した場合は、あたりの確率は2/3になるからです。

「ん？手順2が終わった時点で残った扉は2つ。扉を変えても変えなくても正解の確率は1/2になるし、
変えなくても変えても確率はかわらないのでは？」と思った人もいると思います。私も最初はそう思いました。

こんな感じで、感覚と事実の違いが気持ち悪い！理解できない！という人が多い問題です。

解説

まず、最初に扉を選んだ時点では、あたりの確率は1/3ですね。
3つの中から1つを選ぶのですから、これは簡単。

あなたの選んだ扉が③の扉だとすると、司会者は①もしくは②のドアを開けることになります。

①の扉があたりの場合

③の扉を選んでいるので、司会者は必然的にはずれの②の扉を開きます。
そうすると、あたりの①の扉が残るので、「選びなおすとあたる」といえます。

②の扉があたりの場合

先ほどのパターンとほぼ同じです。
司会者ははずれの①の扉を開きます。
そうするとあたりの②の扉が残るので、「選びなおすとあたる」とこちらもいえます。

③の扉（選んだ扉）があたりの場合

はずれの扉しか残っていないので、「選びなおすとはずす」といえます。

つまり、上記3つのパターンがあり、選びなおすとあたる場合は2パターン、選びなおすと外れるパターンは1パターン
よって、扉を変更した場合のあたりの確率は2/3、扉を変更しない場合は1/3となるというのが本問題の解説です。

この解説の他には「条件付き確率を考える」「扉の数を増やして考えてみる」というものがあります。
分かりにくい場合は、そちらで考えてみるのもいいかもしれませんね。

勉強だけではなく日常においても言えますが、様々な角度から物事を探ってみるということが理解を深めるためには大切です。

そのきっかけが「この解説がわかりにくいから」「もっと楽をしたいから」など、どんなものであっても立派な動機なので、日々思考を深める努力をしたいところ。

そうはいっても、ついついyoutubeで大食い動画を見ながらごろごろ……
気が付いたら思考停止で夜中におやつをむさぼる秋の夜長です！